Uma gravação em uma ponte mudou a forma como os matemáticos representam informações, utilizando números complexos e geometria esférica para descrever rotações em um plano complexo e espaço matemático 4D.
Em 16 de outubro de 1843, o matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865) teve uma epifania durante uma caminhada ao longo do Royal Canal de Dublin, na Irlanda. Ele estava tão absorvido em seus pensamentos sobre a matemática que não percebeu o tempo passando. Sua mente estava focada em encontrar uma solução para um problema que o vinha intrigando há algum tempo.
Hamilton estava trabalhando em uma teoria que combinava a álgebra e a geometria para criar uma nova forma de entender a matemática. Ele estava tão empolgado com sua descoberta que pegou seu canivete e gravou sua fórmula na Broome Bridge. Essa fórmula, conhecida como os quatérnions, revolucionou a forma como os matemáticos entendiam a matemática e teve um impacto profundo na física e na engenharia. A descoberta de Hamilton foi um marco importante na história da matemática.
A Revelação de Hamilton: A Origem da Matemática Moderna
A famosa equação i² = j² = k² = ijk = –1 pode parecer simples, mas sua revelação mudou a forma como os matemáticos representam informações. Essa descoberta de Hamilton simplificou inúmeras aplicações técnicas, desde o cálculo de forças em pontes e máquinas até a programação de mecanismos de busca e a orientação de veículos espaciais. Mas o que significa essa equação?
Objetos em Rotação e a Matemática
Hamilton estava tentando resolver o problema de representar a relação entre diferentes direções no espaço tridimensional. A direção é fundamental na descrição de forças e velocidades, e Hamilton também estava interessado em rotações em 3D. Os matemáticos já sabiam como representar a posição de um objeto com coordenadas x, y e z, mas descobrir o que acontecia com essas coordenadas quando você girava o objeto exigia uma geometria esférica complicada. Hamilton queria um método mais simples.
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Ele foi inspirado por uma maneira notável de representar rotações bidimensionais usando números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. A parte imaginária é um múltiplo do número i, a raiz quadrada de menos um, definida pela equação i² = -1. No início do século XIX, vários matemáticos, incluindo Jean Argand e John Warren, descobriram que um número complexo pode ser representado por um ponto em um plano. Warren também demonstrou que era simples girar uma linha em 90° nesse novo plano complexo.
Hamilton ficou impressionado com essa conexão entre números complexos e geometria e começou a tentar fazer isso em três dimensões. Ele imaginou um plano complexo com um segundo eixo imaginário na direção de um segundo número imaginário j, perpendicular aos outros dois eixos. Foram necessários muitos meses árduos para que ele percebesse que precisava de números complexos quadridimensionais, com um terceiro número imaginário, k, para estender a magia rotacional 2D da multiplicação por i.
Quaterniões e Vetores: A Matemática em Ação
Hamilton chamou seus números 4D de quaterniões e os usou para calcular rotações geométricas no espaço 3D. Esse é o tipo de rotação usado atualmente para mover um robô ou orientar um satélite. A maior parte da magia prática surge quando se considera apenas a parte imaginária de um quaternião. Isso é o que Hamilton chamou de vetores. A álgebra e a geometria se unem para criar uma ferramenta poderosa para resolver problemas complexos.
A revelação de Hamilton mudou a forma como os matemáticos representam informações e simplificou inúmeras aplicações técnicas. A matemática, em particular a álgebra e a geometria, desempenham um papel fundamental na resolução de problemas complexos. A conexão entre números complexos e geometria é um exemplo disso. A matemática é uma ferramenta poderosa que pode ser usada para resolver problemas em diversas áreas, desde a física até a engenharia.
Fonte: © G1 – Globo Mundo
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